Есть угол с вершиной в точке А. На его сторонах отметили точки B и С (АВ = AС). Через точки B и С провели прямые, под углом 90° к сторонам АB и AС, которые пересекаются в точке S. Доказать, что луч AS - биссектриса угла BAC.

Дано: угол А, АВ=АС, угол ABS=углу ACS=90 градусов

Доказать:AS-биссектриса угла BAС

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольники ABS, ACS. Так как углы ABS, ACS равны 90 градусов (по условию), то эти треугольники прямоугольные (по свойству прямоугольных треугольников).

2) Так как AB=AC - катеты (по условию), AS - гипотенуза и общая сторона, то треугольник ABS=треугольнику ACS (по 3-ей теореме о равенстве прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе)

3) Так как треугольник ABS=треугольнику ACS (из 2 пункта), то и все элементы треугольников равны, а из этого следует, что угол BAS = углу CAS.

4) Так как угол BAS = углу CAS (из 3 пункта), то AS - биссектриса угла BAC (по определению биссектрисы), что и требовалось доказать.