Две стороны треугольника равны 3 и 5. Известно, что окружность, проходящая через середины этих сторон и их общую вершину, касается третьей стороны треугольника. Найдите третью сторону.

Пусть AB = 3, BC = 5, сторона АС - касательная.

Окружность пересекает сторону АВ в точке М, которая является серединой АВ, тогда:

АМ = МВ = АВ/2;

АМ = 3/2.

Окружность пересекает сторону ВС в точке N, которая является серединой АC, тогда:

CN = NB = BC/2;

CN = 5/2.

Окружность касается стороны AС в точке D.

Теорема о касательной и секущей гласит, что если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. Тогда:

AD^2 = AB*AM;

AD^2 = 3 * (3/2) = 9/2;

AD = √ (9/2) = 3/√2 = 3√2/2.

А также:

CD^2 = CB*CN;

CD^2 = 5 * (5/2) = 25/2;

CD = √ (25/2) = 5/√2 = 5√2/2.

Сторона АС равна:

АС = AD + CD;

АС = 3√2/2 + 5√2/2 = (3√2 + 5√2) / 2 = 8√2 / 2 = 4√2.

Ответ: АС = 4√2.