ABC - равнобедренный треугольник. AK - биссектриса. AB = BC = 20. Основание равно 5. Найти AK.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 20, AC = 5,

AK - биссектриса угла BAC.

По свойству биссектрисы имеем:

BK / KC = AB / AC = 20/5 = 4,

BK = 4 * KC.

Тогда, так как:

BC = BK + KC = 4 * KC + KC = 5 * KC = 20,

KC = 4.

Опустим из вершины ВH высоту на основание АС.

Так как треугольник ABC равнобедренный, AH = CH = 1/2 * AC = 1/2 * 5 = 5/2.

Треугольник BHC - прямоугольный. Поэтому имеем:

CH = BC * cos (C),

5/2 = 20 * cos (C),

cos (C) = 5/40.

Из треугольника AKC по теореме косинусов получаем:

AK^2 = AC^2 + KC^2 - 2 * AC * KC * cos (C) =

= 5^2 + 4^2 - 2 * 5 * 4 * 5/40 = 25 + 16 - 5 = 36,

AK = 6.

Ответ: длина биссектрисы AK = 6.