Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма длин его катетов равна 7, а сумма их квадратов равна 25.

Сумма катетов равна 7:

a + b = 7;

Выразим b через a:

b = 7 - a;

Сумма квадратов катетов равна 25:

a² + b² = 25;

Заменим b на выражение b = 7 - a:

a² + (7 - a) ² = 25;

Раскроем скобки по формуле квадрата разности: (a - b) ² = 2a - 2ab + b²:

a² + (7² - 14a + a²) = 25;

a² + 7² - 14a + a² = 25;

a² + 49 - 14a + a² = 25;

2a² - 14a + 49 = 25;

Получилось квадратное уравнение. Приведём его к стандартному виду и решим:

2a² - 14a + 24 = 0;

Упростим - разделим каждое слагаемое на 2:

a² - 7a + 12 = 0;

По теореме Виета легко вычисляются корни уравнения:

а1 = 3;

а2 = 4.

Если а = 4, то b = 7 - 4 = 3, проверяем (сумма квадратов катетов должна быть 25):

4² + 3² = 25;

16 + 9 = 25.

Найдём площадь прямоугольного треугольника, которая равна полупроизведению катетов:

S = (4 * 3) / 2 = 12 / 2 = 6.

Ответ: 6