Геометрия 8 кл. Кто знает, помогите! Длины сторон параллелограмма равны 17 и 15, а одна из диагоналей равна 8. Найдите высоты параллелограмма.

Пусть ABCD - параллелограмм, АВ = CD = 15, AD = BC = 17, BD = 8 - диагональ. Найти высоты ВК и ВН.

Их вершины В проведем к основанию AD высоту ВН. Треугольники АНВ и DHB - прямоугольные треугольники с одним общим катетом ВН. По теореме Пифагора:

- в треугольнике АНВ: ВН = √ (AB^2 - AH^2);

- в треугольнике DHB: ВН = √ (BD^2 - HD^2).

Справедливо равенство:

√ (AB^2 - AH^2) = √ (BD^2 - HD^2);

√ (15^2 - AH^2) = √ (8^2 - HD^2);

√ (225 - AH^2) = √ (64 - HD^2);

225 - AH^2 = 64 - HD^2.

Точка Н делит сторону AD на два отрезка:

AD = АН + HD;

АН + HD = 17.

Мы получили систему уравнений с двумя неизвестными:

225 - AH^2 = 64 - HD^2;

АН + HD = 17.

Во втором уравнении выразим АН через HD:

АН = 17 - HD.

Полученное выражение подставим в первое уравнение системы уравнений и найдем значение HD, решив уравнение с одной переменной:

225 - (17 - HD) ^2 = 64 - HD^2;

225 - 289 + 34HD - HD^2 = 64 - HD^2;

34HD = 128;

HD = 128/34 = 64/17.

Тогда:

ВН = √ (BD^2 - HD^2);

ВН = √ (8^2 - (64/17) ^2) = √ (64 - 4096/289) = √ ((18496 - 4096) / 289) = √14400/289 = 120/17.

Площадь параллелограмма ABCD равна:

S = ВН*AD = 120/17 * 17 = 120.

Тогда вторя высота ВК равна:

ВК = S/CD;

ВК = 120/15 = 8.

Ответ: ВН = 120/17, ВК = 8.