Дано: плоскость квадрата АBCD, со стороной=аплоскость квадрата АBCD перпендикулярна плоскости равнобедренного треугольника BCM, угол B=120 Найти: площадь треугольника ADM

Question

Валерий Смирнов

Геометрия

13 февраля, 06:06

Дано: плоскость квадрата АBCD, со стороной=аплоскость квадрата АBCD перпендикулярна плоскости равнобедренного треугольника BCM, угол B=120 Найти: площадь треугольника ADM

+2

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Михаил Петров · Answer 1

Решение.

1. Опустим перпендикуляр из вершины М треугольника ВМС на продолжение прямой ВС. Получим точку О.

2. Рассмотрим треугольник ВМО (<О = 90 град,
Тогда:

sin
sin 30 град. = ОВ/а = > ОВ = а/2.

sin
sin 60 град. = ОМ/а = > ОМ = √3/2 а.

3. Рассмотрим треугольник DOC.

OC = OB + BC = a/2 + a = 3a/2

DC = a

< BCD = 90 град.

Тогда, по т. Пифагора, ОD^2 = OC^2 + DC^2

OD^2 = 9a^2/4 + a^2 = 13a^2/4.

3. Рассмотрим треугольник DОМ. Поскольку плоскость МВС перпендикулярна плоскости АВСD, то OM перпендикулярна OD.

Тогда МD^2 = OD^2 + OM^2

MD^2 = 13a^2/4 + 3a^2/4 = 16a^2/4

MD = 4a/3.

4. Рассмотрим треугольник АОВ. <АВО = 90 град., АВ = а, ВО = а/2.

Тогда АО^2 = OB^2 + AB^2

AO^2 = a^2/4 + a^2 = 5a^2/4.

5. Рассмотрим треугольник АОМ. Поскольку плоскость МВС перпендикулярна плоскости АВСD, то OM перпендикулярна OА.

Тогда АМ^2 = AO^2 + OM^2;

АМ^2 = 5a^2/4 + 3a^2/4 = 8a^2/4 = 2a^2.

АМ = а√2.

6. Рассмотрим треугольник АМD. AM = а√2, MD = 4a/3, AD = a.

Площадь треугольника S = √p (p - AM) (p - MD) (p - AD), где р - полупериметр.

p = (a√2 + 4a/3 + a) / 2 = (10a√2/3) / 2 = 5a√2.

S = √5a√2 * (5a√2 - a√2) (5a√2 - 4a/3) (5a√2 - a).