В окружности, в которую вписана трапеция с основаниями 30 и 40 см, проведен диаметр, перпендикулярный к основаниям трапеции. Часть этого диаметра, расположенная вне трапеции между большим основанием и окружностью, составляет 4/5 его длины. Найдите высоту трапеции.

Пусть трапеция АБСД, точка О - центр окружности, К - середина нижнего основания, Л - середина верхнего основания.

Часть отрезка от окружности до диаметра равна (4/5) D = (8/5) r = (1+3/5) r, r - радиус окружности.

То есть, центр окружности находится вне трапеции, а нижнее основание находится на расстоянии 3/5 от центра окружности.

Рассмотрим треугольник АКО - прямоугольный, АК = АД/2 = 20 см., АО = r, ОК = (3/5) r.

По теореме Пифагора:

(AO) ^2 = (AK) ^2 + (OK) ^2;

(r) ^2 = (20) ^2 + ((3/5) r) ^2;

((16/25) r^2 = (20) ^2;

(4/5) r = 20;

r = 25 см.

Рассмотрим теперь треугольник ОБЛ - прямоугольный, БО - радиус окружности, БЛ = БС/2 = 15 см., ЛО = h + KO = h + (3*25/5) = h + 15, h - искомая высота.

Тогда, по теореме Пифагора:

(БO) ^2 = (БЛ) ^2 + (ЛО) ^2;

(r) ^2 = (15) ^2 + (h + 15) ^2;

(25) ^2 = (15) ^2 + (h + 15) ^2;

(h + 15) ^2 = 400;

h + 15 = 20;

h = 5 см.

Высота трапеции равна 5 см.