1. докажите что значение выражения: а) 2^8 + 4^5 - 8^2 делится на 38 б) 3^11 + 9^6 + 27^3 делится на 111 2. докажите, что a делится на b, если: а = 9^7 + 9^6 + 9^5, b = 3^10 - 3^9 + 3^8

а) Пусть А = 2⁸ + 4⁵ - 8². Поскольку 4 = 2², то 4⁵ = (2²) ⁵ = 2^{2 * 5} = 2¹⁰. Аналогично, 8 = 2³, то 8² = (2³) ² = 2^{3 * 2} = 2⁶. Итак, А = 2⁸ + 2¹⁰ - 2⁶. Выводим за скобки 2⁵. Тогда А = 2⁵ * (2^{8 - 5} + 2^{10 - 5} - 2^{6 - 5}) = 2⁵ * (2³ + 2⁵ - 2) = 2⁵ * (8 + 32 - 2) = 2⁵ * 38. Следовательно, А делится на 38.

б) Пусть В = 3¹¹ + 9⁶ + 27³. Преобразуем В следующим образом: В = 3¹¹ + 9⁶ + 27³ = 3¹¹ + (3²) ⁶ + (3³) ³ = 3¹¹ + 3² * ⁶ + 3³ * ³ = 3¹¹ + 3¹² + 3⁹. Выводим за скобки 3⁸. Тогда В = 3⁸ * (3^{11 - 8} + 3^{12 - 8} + 3^{9 - 8}) = 3⁸ * (3³ + 3⁴ + 3) = 3⁸ * (27 + 81 + 3) = 3⁸ * 111. Следовательно, В делится на 111.

В выражении а = 9⁷ + 9⁶ + 9⁵ выводим за скобки 9⁵. Тогда а = 9⁵ * (9² + 9¹ + 9⁰) = 9⁵ * (81 + 9 + 1) = 9⁵ * 91 = 9⁵ * 13 * 7. Аналогично, в выражении b = 3¹⁰ - 3⁹ + 3⁸ выводим за скобки 3⁸. Тогда b = 3⁸ * (3² - 3¹ + 3⁰) = 3^{2 * 4} * (9 - 3 + 1) = (3²) ⁴ * 11 = 3⁸ * 11. Это свидетельствует о том, что число а = 9⁵ * 13 * 7 не делится на число b = 3⁸ * 11, так как в составе числа b присутствует простое число 11, чего нет в составе числа а. В качестве примечания отметим, что если бы b задали как b = 3¹⁰ + 3⁹ + 3⁸, то число а делилось бы на число b.