2sin^2 (x) + sin^2 (2x) = 2

Для того, чтобы решить данное тригонометрическое уравнение применим формулу sin (2 * α) = 2 * sinα * cosα (синус двойного угла). Тогда, имеем: 2 * sin²x + (2 * sinx * cosx) ² = 2. Раскроем скобки, сократим обе части уравнения на 2 и применим основное тригонометрическое тождество sin²α + cos²α = 1 в виде cos²α = 1 - sin²α. Тогда, получим: sin²x + 2 * sin²x * (1 - sin²х) = 1. Введём обозначение у = sin²x. Имеем: у + 2 * у * (1 - у) = 1, откуда 2 * у² - 3 * у + 1 = 0. Это квадратное уравнение имеет два корня у₁ = 1 и у₂ = ½. Рассмотрим два случая: 1) у = 1 и 2) у = ½. В случае 1) sin²x = 1 получим sinх = ± 1. При sinх = 1, имеем х = π / 2 + 2 * π * p, где p - целое число. Если sinх = - 1, то х = - π / 2 + 2 * π * q, где q - целое число. Объединяя результаты обоих случаев, приходим к результату х = (π/2) * (2 * r + 1), где r - целое число. Рассмотрим случай 2) sin²x = ½. Последнее уравнение позволяет получить два уравнения: 2 а) sinх = √ (2) / 2 и 2 б) sinх = - √ (2) / 2. Рассмотрим случай 2 а) sinх = √ (2) / 2. Тогда х = (-1) ^m * π/4 + π * m, где m - целое число. В случае 2 б) sinх = - √ (2) / 2. Следовательно, х = (-1) ⁿ * (-π/4) + π * n, где n - целое число. Объединяя результаты обоих случаев, приходим к результату х = π/4 + (π/2) * k, где k - целое число.

Ответы: х = (π/2) * (2 * r + 1), где r - целое число; х = π/4 + (π/2) * k, где k - целое число.