В прямоугольный треугольник с острым углом в 60 градусов вписан ромб. Вершина данного угла является общей, а остальные 3 вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найдите длины сторон треугольника, если известно, что длина стороны ромба равно 12 см.

Пусть этот треугольник имеет стороны а, в и с. Ромб отсекает от треугольник подобный треугольник с гипотенузой с1 = 12 и катетом в1 = 1/2 * c1 = 1/2 * 12 см = 6 см. (как катет напрoтив угла в 30°)

Так как на катете в лежит сторона ромба, равная 12 см, то в = 12 см + в1 = 12 см + 6 см = 18 см. Но этот катет в лежит напротив угла в 30°, то гипотенуза с = 2 * в = 2 * 18 см = 36 см.

Определяем катет а: а = √ (с^2 - в^2) = √ (36^2 - 18^2) = √ (1296 - 324) = √ 972 = √ (81 * 4 * 3) = 9 * 2 * √ 3 = 18 * √ 3 (см).

Ответ: с = 36 см; в = 18 см; а = 18 √ 3 см.