4 (cos^2 (x) + cos2X) + 3sin (270+x) = 2

Решим данное тригонометрическое уравнение 4 * (cos²x + cos (2 * x)) + 3 * sin (270° + x) = 2, хотя об этом явного требования в задании нет. Анализ левой части данного уравнения показывает, что к ней можно применить формулу приведения sin (270° + α) = - cosα и следующую формулу: cos (2 * α) = cos²α - sin²α = 2 * cos²α - 1 (косинус двойного угла). Тогда, получим следующее уравнение: 4 * (cos²x + 2 * cos²x - 1) + 3 * (-cosх) = 2 или 4 * 3 * cos²x - 4 * 1 - 3 * cosх = 2, откуда 12 * cos²x - 3 * cosх - 6 = 0. Введём новую переменную у = cosх. Тогда последнее уравнение можно переписать так: 12 * у² - 3 * у - 6 = 0. Вычислим дискриминант полученного квадратного уравнения D = (-3) ² - 4 * 12 * (-6) = 9 + 288 = 297. Так как D = 297 > 0, то оно имеет два различных корня. Вычислим их: у₁ = (3 - √ (297)) / (2 * 12) = (1 - √ (33)) / 8 и у₂ = (3 + √ (297)) / (2 * 12) = (1 + √ (33)) / 8. Заметим, что оба решения удовлетворяют условию - 1 ≤ cosх ≤ 1. Исследуем оба решения. А) cosх = (1 - √ (33)) / 8. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет решение: х = ±arccos ((1 - √ (33)) / 8) + 2 * π * m, где m - целое число. Б) cosх = (1 + √ (33)) / 8. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет решение: х = ±arccos ((1 + √ (33)) / 8) + 2 * π * k, где k - целое число.