Разность шестого и четвёртого членов геометрической прогрессии равно 72, а третьего и первого - 9. Найдите сумму восьми членов этой прогрессии.

Для решения задачи используем формулу n-го члена геометрической прогрессии, запишем

b_{6 -} b 4 = 72

b₆ - b₄ = 72

b₃ - b₁ = - 9

b₆ = b_{1 *} q⁵ , b₄ = b_{1 *} q³ , b₃ = b_{1 *} q² теперь сделаем замену в первом и втором уравнениях и получим:

b_{1 *} q⁵ - b_{1 *} q³ = 72, b_{1 * (}q⁵ - q³) = 72,

b_{1 *} q² - b₁ = - 9, b₁ (q² - 1) = - 9, b₁ = - 9 / (q² - 1) выразили b_{1 через} q_, подставим в первое уравнение

- 9 / (q² - 1) _{* (}q⁵ - q³) = 72 сократим и получим,

- 9 * q³ = 72, q³ = 72 : ( - 9), q³ = - 8, q = - 2,

b₁ = - 9 / (( - 2) ² - 1) = - 9 / ((4 - 1) = - 9 : 3 = - 3.

Теперь найдём сумму первых восьми членов прогрессии,

S_{8 =} ( - 3 * ( - 2) + 3) : ( - 2 - 1) ₌ 9 : ( - 3) = - 3

Ответ: - 3

b 3 - b 1 = - 9