Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма четвёртого и шестого членов равна - 80. Найдите первый член этой прогрессии.

Обозначим через b1 - первый член данной геометрической прогрессии, а через q - знаменатель данной геометрической прогрессии. Согласно условию задачи, сумма первого и третьего членов данной геометрической прогрессии равна 10, следовательно, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии bn = b1*q^ (n-1), можем записать:

b1 + b1*q^2 = 10.

Также известно, что сумма четвёртого и шестого членов данной геометрической прогрессии равна - 80, следовательно, можем записать:

b1*q^3 + b1*q^5 = - 80,

или

q^3 * (b1 + b1*q^2) = - 80.

Решаем полученную систему уравнений. Подставляя во второе уравнение значение выражения b1 + b1*q^2 = 10 из первого уравнения, получаем:

q^3 * 10 = - 80.

Решаем полученное уравнение:

q^3 = - 80/10;

q^3 = - 8;

q^3 = (-2) ^3;

q = - 2.

Подставляя найденное значение q в соотношение b1 + b1*q^2 = 10, получаем:

b1 + b1 * (-2) ^2 = 10.

Решаем полученное уравнение:

b1 + b1*4 = 10;

b1*5 = 10;

b1 = 10/5;

b1 = 2.

Ответ: первый член данной геометрической прогрессии равен 2.