Найдите точку максимума и точку минимума функции y=f (x), если известно, что f' (x) = x^2-5x+6

Чтобы найти точки экстремума функции (то есть точки минимума и точки максимума), нужно:

найти производную функции, найти нули производной (то есть приравнять ее к нулю и найти корни уравнения), с помощью числовой прямой определить знаки производной: когда функция возрастает, то производная положительна, когда функция убывает, то производная отрицательна, определить точки минимума и максимума: если функция возрастала и в определенной точке начала убывать, то это точка максимума, а если наоборот - то это точка минимума.

Производная уже известна f' (x) = x² - 5x + 6.

Найдем нули производной функции

f' (x) = 0

x² - 5x + 6 = 0

Получилось квадратное уравнение, найдем корни уравнения через дискриминант.

x² - 5x + 6 - квадратичная функция, ветви вверх.

а = 1, в = - 5, с = 6.

D = в² - 4 ас = (-5) ² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1 (кв. корень равен 1)

х₁ = (5 + 1) / 2 = 6/3 = 3

х₂ = (5 - 1) / 2 = 4/2 = 2

Определяем знаки производной

Отмечаем на координатной прямой точки 2 и 3, схематически рисуем параболу (ветви вверх), подписываем знаки на каждом промежутке, стрелками показываем, как ведет себя функция на каждом промежутке.

( - бесконечность; 2) знак плюс, функция возрастает.

(2; 3) знак минус, функция убывает.

(3; + бесконечность) знак плюс, функция возрастает.

То есть точка 2 является точкой максимума, а точка 3 - точкой минимума.

Ответ: х_min = 3, x_max = 2.