Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?

Пусть прямоугольный треугольник имеет стороны b, bq и bq², которые образуют геометрическую прогрессию с первым членом b и знаменателем q. Будем считать, что b > 0, q > 1 и bq² - гипотенуза. Запишем теорему Пифагора для данного треугольника:

b ² + (bq) ² = (bq ²) ²;

b²q⁴ - b²q² - b² = 0;

q⁴ - q² - 1 = 0.

Заменим q² = r > 0:

r² - r - 1 = 0.

r = (√5 + 1) / 2,

откуда

q = √ (√5 + 1) / √2.

Таким образом, длины прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию (с найденным q и любым b).