Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна 21. Если первое число оставить без изменения, второе увеличить на 6, а третье увеличить на 3, то полученные числа будут составлять арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Пусть b - это первый член геометрической прогрессии, а q - её знаменатель.

Тогда три наших числа это b; bq и bq². Составим систему уравнений.

b + bq + bq² = 21;

bq + 6 - b = bq² - (bq + 6).

Вычтем второе уравнение из первого:

bq² + bq + b - 21 = 0;

bq² - 2bq - 12 + b = 0.

bq + 2bq + b - b - 21 + 12 = 0.

3bq = 9.

bq = 9/3 = 3.

Подставим значение bq = 3 в первое уравнение.

b + 3 + 3q = 21.

b = 18 - 3q.

q (18 - 3q) = 3.

3q² - 18q + 3 = 0.

Сократим на 3, найдём дискриминант и корень квадратного уравнения.

q² - 6q + 1 = 0;

D = 6 * 6 - 4 = 36 - 4 = 32

q = (6 + √32) / 2 = (6 + 4√2) / 2 = 3 + 2√2;

b = 18 - 9 - 6√2 = 9 - 6√2 (первое число).

(9 - 6√2) (3 + 2√2) = 27 - 18√2 + 18√2 - 12 * 2 = 3 (второе число).

3 * (3 + 2√2) = 9 + 6√2 (третье число).

Проверка: 9 - 6√2 + 3 + 9 + 6√2 = 21.

Ответ: данные числа (9 - 6√2); 3 и (9 + 6√2).