1. Решить уравнение: 2cos^2x-sinx-1=0. 2. Докажите, что функция у = (2 х+5) ^10 удовлетворяет соотношению 8000 у (2 х+5) ^17 - (у') ^3=0. 3. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член в 6 раз больше суммы всех её последующих членов.

cos² x = 1 - sin² x.

Подставим это значение в исходное выражение:

2 (1 - sin² x) - sin x - 1 = 0;

2 sin² x + sin x - 1 = 0;

Решаем, как квадратное уравнение от переменной sin x:

sin x = ( - 1 ± √ (1 + 8)) / 4 = ( - 1 ± 3) / 4

a) sin x = 1/2;

x₁ = Pi/6 + 2 k Pi;

x₂ = Pi - Pi/6 + 2 k Pi = - Pi/6 + (2 k + 1) Pi;

b) sin x = - 1;

x₃ = - Pi/2 + 2 k Pi.'

Найдём производную у:

у' = 10 * (2 x + 5) ⁹ * 2 = 20 (2 x + 5) ⁹.

Вставим это значение в исходное выражение:

8000 (2 x + 5) ¹⁰ (2 х+5) ^17 - (20 (2 x + 5) ⁹) ³ =

8000 (2 x + 5) ²⁷ - 8000 (2 x + 5) ²⁷ = 0.

Общий член геометрической прогрессии равен:

b_n = b₁ qⁿ ^{- 1}.

Запишем условие:

b_n = 6 (b_{n + 1} + b_{n + 2} + ...);

b₁ qⁿ ^{- 1} = 6 (b₁ qⁿ + b₁ qⁿ ^{+ 1} + ...)

Сократим обе части выражения на общий множитель b₁ qⁿ ^{- 1}:

1 = 6 (q + q² + ...) = 6 q (1 + q + q² + ...).

Знаменатель данной геометрической прогрессии по условию задачи меньше единицы. Следовательно, выражение в скобках есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Её сумма равна:

S_q = 1 / (1 - q);

1 = 6 q / (1 - q);

q = 1/5 = 0,2.