Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии у которой 5-й член в16 раз больше суммы всех ее последующих членов

Воспользуемся тем, что если в бесконечно убывающей геометрической прогрессии отбросить n первых членов, где n любое положительное целое число, то оставшиеся члены тоже будут образовывать бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с тем же самым знаменателем, что и исходная прогрессия. Первым членом укороченной геометрической прогрессии будет n+1-й член исходной прогрессии.

Отбросив в данном случае первый 4 члена прогрессии, мы получим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию bn, первый член которой b5 - это пятый член в первоначальной прогрессии. По условию задачи, 5-й член b5 в 16 раз больше суммы всех последующих членов прогрессии. Согласно формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма всех членов укороченной прогрессии будет равна b5/1-q, где q - знаменатель прогрессии. Сумма всех последующих членов после b5 будет равна b5/1-q - b5. Следовательно, справедливо следующее соотношение:

b5 = 16 (b5 / (1-q) - b5).

Решаем полученное уравнение:

b5 = 16*b5 * (1 / (1-q) - 1);

1 = 16 * (1 / (1-q) - 1);

1 = 16 * (1 / (1-q) - (1-q) / (1-q));

1 = 16 * (q / (1-q));

1 - q = 16q;

17q = 1;

q = 1/17.

Ответ: знаменатель данной убывающей геометрической прогрессии равен 1/17.