Найти значение tg2x, если sin (x-90) = 2√6 / 5, и x€ (90°; 180°)

1. Найдем значение cosx с помощью формулы приведения для sinx:

sin (x - 90°) = - cosx;

cosx = - sin (x - 90°) = - 2√6/5.

2. Вычислим значение sinx и tgx, учитывая, что x ∈ (90°; 180°), следовательно:

sinx > 0;

sinx = √ (1 - cos^2 (x));

sinx = √ (1 - (-2√6/5) ^2);

sinx = √ (1 - 24/25) = √ (1/25) = 1/5;

tgx = sinx / cosx = 1/5 : (-2√6/5) = - 1 / (2√6) = - √6/12.

3. Определим tg (2x) по формуле для тангенса двойного угла:

tg (2x) = 2tgx / (1 - tg^2 (x));

tg (2x) = 2 * (-√6/12) / (1 - (-√6/12) ^2);

tg (2x) = (-√6/6) / (1 - 1/24);

tg (2x) = (-√6/6) / (23/24);

tg (2x) = (-√6 * 24) / (6 * 23);

tg (2x) = - 4√6/23.

Ответ: - 4√6/23.