Имеются 2 слитка сплавов меди и олова. Первый весит 3 кг и содержит 40% меди, второй весит 7 кг и содержит 30% меди. Какого веса нужно взять куски этих слитков, чтобы после их переплавки получить 8 кг сплава, содержащего r% меди? При каких r задача имеет решение?

1. Дано:

m1 = 3 кг; r1 = 40 % = 0,4; m2 = 7 кг; r2 = 30 % = 0,3; m = 8 кг; r = ?.

2. Допустим, нужно взять куски веса x и y соответствующих слитков. Составим уравнения для массы сплава и массы меди в нем:

{x + y = m;

{r1x + r2y = rm; {y = m - x;

{r1x + r2 (m - x) = rm; {y = m - x;

{r1x + r2m - r2x = rm; {y = m - x;

{ (r1 - r2) x = m (r - r2); {y = m - m (r - r2) / (r1 - r2);

{x = m (r - r2) / (r1 - r2); {y = m (r - r1) / (r2 - r1);

{x = m (r - r2) / (r1 - r2); {y = m (4 - 10r);

{x = m (10r - 3); {y = 8 (4 - 10r);

{x = 8 (10r - 3).

3. Задача имеет решение при условии:

{0 ≤ x ≤ m1;

{0 ≤ y ≤ m2; {0 ≤ m (10r - 3) ≤ m1;

{0 ≤ m (4 - 10r) ≤ m2; {0 ≤ 10r - 3 ≤ m1/m;

{0 ≤ 4 - 10r ≤ m2/m; {0 ≤ 10r - 3 ≤ 3/8;

{0 ≤ 4 - 10r ≤ 7/8; {3 ≤ 10r ≤ 27/8;

{-4 ≤ - 10r ≤ - 25/8; {0,3 ≤ r ≤ 0,3375;

{0,3125 ≤ r ≤ 0,4; r ∈ [0,3125; 0,3375].

Ответ:

1) x = 8 (10r - 3); y = 8 (4 - 10r); 2) r ∈ [0,3125; 0,3375].