1) Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч. решите задачу с помощью рациональных уравнений

Если принять скорость катера за х, то его скорость по течению составит:

х + 3 км/ч

Против течения скорость будет:

х - 3 км/ч

При этом время затраченное на прогулку по озеру составит:

t = s / v = 18 / x ч.

Вверх по течению движение займет времени:

t = s / v = 5 / (х + 3) ч.

А вниз по течению времени уйдет:

t = s / v = 12 / (х - 3) ч.

Время движения по реке и по озеру равны, следовательно:

(5 / (х + 3)) + (12 / (х - 3)) = 18 / х;

(5 * (х - 3) + 12 * (х + 3)) / ((х + 3) * (х - 3)) = 18 / х;

х * (5 * х - 15 + 12 * х + 36) = 18 * (х² - 9);

х * (17 * х + 21) = 18 * (х² - 9);

17 * х² + 21 * х = 18 * х² - 162;

х² - 21 * х - 162 = 0;

х² - (27 - 6) * х - 27 * 6 = 0;

(х + 6) * (х - 27) = 0;

Каждый из множителей в произведении, равном нулю, может оказаться нулем:

х + 6 = 0;

х = - 6;

х - 27 = 0;

х = 27.

Отрицательный корень можно отбросить.

Ответ: катер имеет скорость 27 км/ч.