Решите уравнения : a) 3x+4/x^2-16=x^2/x^2-16 б) 3/x-5+8/x=2 Выполните задачу: а) Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

a) ^{3x + 4}/_{x² - 16} = x²/_{x² - 16}, ОДЗ: х² - 16 ≠ 0; х ≠ ±4.

^{3x + 4}/_{x² - 16} - x²/_{x² - 16} = 0;

^{3x + 4 - х^2}/_{x² - 16} = 0, дробь равна "0", если ее числитель равен "0";

3 х + 4 - х² = 0, домножим на "-1" обе части;

х² - 3 х - 4 = 0;

х = ^{3 ± √ (9 + 16)} /₂;

х = ^{3 ± 5}/₂;

х = - 1; х = 4 - не подходит по ОДЗ.

Ответ: х = - 1.

б) ³/_{x - 5} + ⁸/_x = 2; ОДЗ: х ≠ 0; х ≠ 5.

3 х + 8 * (х - 5) = 2 * (х * (х - 5));

3 х + 8 х - 40 = 2 х² - 10 х;

2 х² - 21 х + 40 = 0;

х = ^{21 ± √ (441 - 320)} /₄;

х = ^{21 ± 11}/₄;

х = - 8; х = 2,5.

Ответ: х = - 8; х = 2,5.

Задача.

Пусть х км/ч - собственная скорость катера (х > 0), тогда (х + 3) км/ч - скорость по течению, и (х - 3) км/ч - против течения.

Соответственно: ⁵/ _{(х + 3)} - время по течению; ¹²/ _{(х - 3)} - время против течения; ¹⁸/_х - время по озеру.

Можем составить уравнение: ⁵/ _{(х + 3)} + ¹²/ _{(х - 3)} = ¹⁸/_х, ОДЗ: с учетом того, что нас интересуют "х > 0", то х ≠ 3.

⁵/ _{(х + 3)} + ¹²/ _{(х - 3)} = ¹⁸/_х;

х * (5 (х - 3) + 12 (х + 3)) = 18 (х² - 9);

5 х² - 15 х + 12 х² + 36 х = 18 х² - 162;

х² - 21 х - 162 = 0;

х = ^{21 ± √ (441 + 648)} /₂;

х = ^{21 ± 33}/₂;

х = 27; х = - 6 - не подходит по ОДЗ.

Ответ: Собственная скорость катера 27 км/ч.