Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, корнями которого являются:x1=5-i x2=5+i

Чтобы составить уравнение, вспомним, что i = √‾-1.

Вспомним также, что корнями квадратного уравнения вида:

a * x² + b * x + c = 0, являются:

x₁ = ( - b - √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a);

x₂ = ( - b + √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a);

Значит в результате решения такого уравнения получили:

x₁ = ( - b - √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = 5 - i;

x₂ = ( - b + √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = 5 + i;

Получается, что:

- b / (2 * а) = 5;

- b = 5 * (2 * а);

b = - 5 * (2 * а) = - 10 * а;

√‾ (b² - 4 * a * c) / (2 * a) = i;

√‾ (b² - 4 * a * c) = i * (2 * a);

√‾ (( - 10 * а) ² - 4 * a * c) = i * (2 * a);

√‾ (100 * а² - 4 * a * c) = i * (2 * a);

√‾ (4 * а² * (25 - c / а) = i * (2 * a);

2 * а √‾ (25 - (c / а)) = i * (2 * a);

√‾ (25 - c / а) = i;

25 - с / а = - 1;

25 + 1 = с / а;

26 * а = с.

а = с / 26;

b = - 10 * а = - 10 * с / 26 = - 5 * с / 13.

Таким образом мы получили соотношения коэффициентов.

Пусть с = 26, тогда:

а = с / 26 = 26 / 26 = 1.

b = - 10 * а = - 10 * 1 = - 10.

Уравнение получится:

Х² - 10 * Х + 26 = 0.

Проверим:

(5 - i) ² - 10 * (5 - i) + 26 = 25 - 10i + i² - 50 + 10i + 26 = 1 + i² = 1 - 1 = 0.

(5 + i) ² - 10 * (5 + i) + 26 = 25 + 10i + i² - 50 - 10i + 26 = 1 + i² = 1 - 1 = 0.