Найдите сумму первых семи членов арифметической прогрессии, произведение третьего и пятого членов которой равны второму члену, а сумма первого и восьмого членов равна 2.

1. Для заданной арифметической прогрессии A (n) ее члены отвечают следующим условиям:

A3 * A5 = A2;

A1 + A8 = 2;

2. Вычислим первый член и разность прогрессии: A1 и D;

A1 + A8 = A1 + (A1 + 7 * D) = 2 * A1 + 7 * D = 2;

A1 = (2 - 7 * D) / 2;

A3 * A5 = A2;

(A1 + 2 * D) * (A1 + 4 * D) = A1 + D;

A1² + 6 * D * A1 + 8 * D² = A1 + D;

3. Подставим A1 = (2 - 7 * D) / 2:

3 * D * (2 - D) = 0;

Так как D>0,

2 - D = 0;

D = 2;

A1 = (2 - 7 * 2) / 2 = - 12 / 2 = - 6;

A7 = A1 + 6 * d = - 6 + 12 = 6;

4. Сумма первых семи членов прогрессии:

S7 = (A1 + A7) * 7 / 2 = (-6 + 6) * 7 / 2 = 0.

Ответ: сумма первых семи членов прогрессии A (n) равна нулю.