Найти сумму значений функции y=3x^5-5x^3-3 в точках экстремума

Рассмотрим функцию у = у (х) = 3 * x⁵ - 5 * x³ - 3. Прежде всего, отметим, что данная функция определена для всех х ∈ (-∞; + ∞). Для того, чтобы выполнить требование задания, используем метод, в котором применяется производная данной функции. Найдём уꞋ (х) = 3 * 5 * х^{5 - 1} - 5 * 3 * x^{3 - 1} - 0 = 15 * х⁴ - 15 * x². Как известно, уравнение уꞋ (x*) = 0 является необходимым условием экстремума функции одной переменной. Другими словами, в точке x * первая производная функции должна равняться нулю. Приравнивая к нулю производную данной функции, составим и решим уравнение 15 * х⁴ - 15 * x² = 0. Имеем: 15 * x² * (х² - 1) = 0 или x² * (х² - 1) = 0. Последнее уравнение позволяет определить три точки х₁ = - 1; х₂ = 0 и х₃ = 1. Нетрудно убедиться, что: в интервале (-∞; - 1) производная уꞋ (х) > 0; в интервале (-1; 0) производная уꞋ (х) < 0; в интервале (0; 1) производная уꞋ (х) 0. Значит, данная функция при х = - 1 принимает максимальное значение у (-1) = 3 * (-1) ⁵ - 5 * (-1) ³ - 3 = - 3 - 5 * (-1) - 3 = - 3 + 5 - 3 = - 1. Аналогично, данная функция при х = 1 принимает минимальное значение у (1) = 3 * 1⁵ - 5 * 1³ - 3 = 3 - 5 * 1 - 3 = 3 - 5 - 3 = - 5. Следует отметить, что точка х = 0 не является точкой экстремума. По требованию задания, найдём сумму значений данной функции в точках экстремума. Искомая сумма равна - 1 + (-5) = - 6.

Ответ: - 6.