Объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды равен 208 см3, а стороны оснований равны 10 см и 4 см. Найдите площадь диагонального сечения этой пирамиды.

Решение:

a = 4 см - сторона верхнего основания

b = 10 см - сторона нижнего основания

V = 208 см3 - объём усеченной пирамиды

S1=a^2 = 16 см2 - площадь верхнего основания

S2=b^2 = 100 см2 - площадь нижнего основания

V = (1/3) * h * (S1+S2+√[S1*S2]) - формула объёма правильной усеченной пирамиды

h=3*V / (S1+S2+√[S1*S2]) - высота правильной усеченной пирамиды

h=3*208 / (16+100+√[16*100]) = 624 / (116+40) = 624/156 = 4 см

Диагональное сечение заданной пирамиды является равносторонней трапецией с основаниями являющимися диагоналями нижнего и верхнего оснований пирамиды, тогда:

d1=√ (2*a^2) = 4*√2 см - диагональ верхнего основания

d2=√ (2*b^2) = 10*√2 см - диагональ нижнего основания

Sд = (1/2) * (d1+d2) * h - площадь искомой трапеции (диагонального сечения)

Sд = (1/2) * (4*√2 + 10*√2) * 4 = 2*14*√2 = 28*√2 см2

Ответ: Sд = 28*√2 см2 = √1568 см2