Упростите выражение (1/x+2+5/x^2-x-6+2x/x-3) x/2x+1

(1 / (х + 2) + 5 / (х² - х - 6) + 2 х / (х - 3)) * х / (2 х + 1).

Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле ax² + bx + c = a (x - x1) (x - x2), где х1 и х2 корни квадратного трехчлена.

х² - х - 6 = 0.

По теореме Виета х1 = 3, х2 = - 2.

х² - х - 6 = (х - 3) (х + 2).

(1 / (х + 2) + 5 / ((х - 3) (х + 2)) + 2 х (х - 3)) * х / (2 х + 1).

Приведем дроби первого множителя к общему знаменателю (х - 3) (х + 2). Дополнительный множитель для первой дроби (х - 3), для третьей дроби ((х + 3).

((х - 3) + 5 + 2 х (х + 2)) / ((х - 3) (х + 2)) * х / (2 х + 1) = (х - 3 + 5 + 2 х² + 4 х) / ((х - 3) (х + 2)) * х / (2 х + 1) = (2 х² + 5 х + 2) / ((х - 3) (х + 2) * х / (2 х + 1).

Разложим числитель первой дроби на множители.

2 х² + 5 х + 2 = 0;

D = b² - 4ac;

D = 5² - 4 * 2 * 2 = 9; √D = 3;

x = (-b ± √D) / (2a);

x1 = (-5 + 3) / (2 * 2) = - 1/2;

x2 = (-5 - 3) / 4 = - 2.

2x² + 5x + 2 = 2 (x + 1/2) (x + 2) = (2x + 1) (x + 2).

((2x + 1) (x + 2) * x) / ((x - 3) (x + 2) (2x + 1)).

Сократим дробь на (2 х + 1) и на (х + 2).

х / (х - 3).

Ответ. х / (х - 3).