Корни квадратного уравнения x2 + px + q = 0 являются целыми числами. Найти p и q, если p+q=112.

1. Выразим q через p и подставим в выражение дискриминанта:

p + q = 112; q = 112 - p; x^2 + px + q = 0; D = p^2 - 4q = p^2 - 4 * (112 - p) = p^2 + 4p - 448 = (p + 2) ^2 - 452.

2. Дискриминант должен быть квадратом целого числа:

D = d^2; (p + 2) ^2 - 452 = d^2; (p + 2) ^2 - d^2 = 452; (p + 2 + d) (p + 2 - d) = 4 * 113.

3. Т. к. d ≥ 0, то p + 2 + d ≥ p + 2 - d. Пусть:

{p + 2 + d = k1;

{p + 2 - d = k2; {p = (k1 + k2) / 2 - 2;

{d = (k1 - k2) / 2;

{q = 112 - p.

k1 и k2 имеют одинаковую четность.

4. При условии k1 ≥ k2 возможны следующие решения:

1) k1 = - 2; k2 = - 226;

{p = - 116;

{d = 112;

{q = 228.

2) k1 = 226; k2 = 2;

{p = 112;

{d = 112;

{q = 0.

Ответ:

1) p = - 116; q = 228; 2) p = 112; q = 0.