Решите неравенство: log² (5-x) по основанию 2 - 2log (5-х) ³по основанию 2 + 9≤0

Воспользуемся свойством логарифма и вынесем показатель степени за логарифм:

log² ₂ (5 - x) - 2log ₂ (5 - x) ³ + 9 ≤ 0;

log² ₂ (5 - x) - 6log ₂ (5 - x) + 9 ≤ 0;

Выполним замену у = log ₂ (5 - x), у > 0 и решим квадратное уравнение:

у² - 6y + 9 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 6) ² - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0;

y1 = у2 = ( - b - √D) / 2a = (6 - 0) / 2 * 1 = 6 / 2 = 3;

(у - 3) (у - 3) ≤ 0;

Применим метод интервалов, учитывая "петлю".

+ - +

---• (3) - --• (3) - --

y ∈ [ 3; 3];

Значит y = 3;

Подставим нашу переменную назад:

у = log ₂ (5 - x);

log ₂ (5 - x) = 3;

Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

3 = 3log ₂ 2 = log ₂ 2 ³;

log ₂ (5 - x) = log ₂ 2 ³;

Из равенства основания логарифмов следует:

(5 - x) = 2 ³;

- x = 8 - 5;

- х = 3;

х = - 3

Ответ: х = - 3.