8. Два стрелка стреляют по мишени. Один из них попадает в цель в среднем в 5 случаях, а второй - в 8 случаях из 10. Перед выстрелом они бросают монету для определения очередности. Посторонний наблюдатель знает условия стрельбы, но не знает, кто в данный момент стрелял. Вот он видит, что стрелок попал в цель. Какова вероятность, что стрелял первый стрелок?

1. Гипотезы и априорные вероятности:

Ai - стрелял i-й стрелок; P (A1) = 1/2; P (A2) = 1/2.

2. Условные вероятности события X в том, что стрелок попал в цель:

P (X | A1) = 5/10; P (X | A2) = 8/10.

3. Полная вероятность события X:

P (X) = P (A1) * P (X | A1) + P (A2) * P (X | A2); P (X) = 1/2 * 5/10 + 1/2 * 8/10 = 5/20 + 8/20 = 13/20.

4. Апостериорная вероятность события A1, при условии, что наступило событие X (формула Байеса):

P (A1 | X) = P (A1) * P (X | A1) / P (X); P (A1 | X) = 5/20 : 13/20 = 5/13.

Ответ: 5/13.