Lim x стремится к нулю sin3x/2x

Рассмотрим предел lim x->0 (sin 3x) / 2x, этот предел относится к замечательному, который имеет вид:

lim x->0 (sin x) / x = 1, а так как это предел отличается от заданного, то нужно их привести к общему виде. Для этого sin 3x = sin t, откуда t = x/3. В знаменателе мы должны получить тоже выражение вида t = x/3. Для чего преобразуем:

(sin 3x) / 2x = (sin 3x) / (3x) * (2/3), тогда предел примет вид:

lim x->0 (sin 3x) / 2x = lim x->0 [ (sin 3x) / (3x) * (2/3) ] = lim x->0 [ (sin 3x) / (3x) ] * lim x->0 (2/3) = 1 * 2/3 = 2/3.