Решите тригонометрическое уравнение: 4sin^4⁡х+7 cos⁡2x=1

Воспользуемся формулой двойного аргумента тригонометрических функций:

4sin⁴x + 7cos2 х = 1;

cos2x = 1 - 2sin²x;

Подставим полученные значения:

4sin⁴x + 7 (1 - 2sin²x) = 1;

4sin⁴x + 7 (1 - 2sin²x) - 1 = 0;

4sin⁴x + 7 - 14sin²x - 1 = 0;

Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Выполним замену sin²x = n, |√n| ≤ 1:

4n² - 14n + 6 = 0;

2n² - 7n + 3 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 7) ² - 4 * 2 * 3 = 49 - 24 = 25;

D › 0, значит:

n1 = ( - b - √D) / 2a = (7 + √25) / 2 * 2 = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3, не подходит по условию замены;

n2 = ( - b + √D) / 2a = (7 - √25) / 2 * 2 = (7 - 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2;

Тогда:

если n = 1/2, то:

sin² x = 1/2;

1) sinx = 1/√2;

х = ( - 1) m arcsin (1/√2) + πm, m ∈ Z;

х1 = ( - 1) ^m π/4 + πm, m ∈ Z;

2) sinx = - 1/√2;

х = ( - 1) m arcsin ( - 1/√2) + πm, m ∈ Z;

х = - ( - 1) m arcsin (1/√2) + πm, m ∈ Z;

х2 = - ( - 1) ^m π/4 + πm, m ∈ Z;

Ответ: х1 = ( - 1) ^m π/4 + πm, m ∈ Z, х2 = - ( - 1) ^m π/4 + πm, m ∈ Z.