Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 8 см. По требованию задания, найдём длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей. Катеты и гипотенузу данного прямоугольного треугольника обозначим, соответственно, через a, b и с. Тогда, согласно условиям задания, с = 8, а катеты a и b - неизвестны (здесь и далее в расчетах, до окончательного результата, опустим единицу измерения длины см). Воспользуемся теоремой Пифагора, формула которой для нашего задания может быть оформлена в виде равенства с² = a² + b² или, после подстановки 8 вместо гипотенузы, 8² = a² + b². Рассмотрим последнее равенство как уравнение относительно одного катета (например, относительно катета b) и решим его. Тогда, имеем: b² = 64 - a², откуда b = ±√ (64 - a²). Поскольку катет прямоугольного треугольника не может быть отрицательной величиной, то получим: b = √ (64 - a²). Как известно, площадь S прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле S = ½ * a * b, где a и b - катеты прямоугольного треугольника. Подставляя в эту формулу последнее выражение для b из предыдущего пункта. Тогда, получим следующую функцию (от аргумента а) S (а) = ½ * a * √ (64 - a²). Таким образом, условия задания свелись к нахождению наибольшего значения функции S (а) = ½ * a * √ (64 - a²) в интервале (0; 8). Для решения этой задачи применим приёмы дифференциального и интегрального исчисления. С этой целью, вычислим производную функции S (а) = ½ * a * √ (64 - a²). Имеем: S Ꞌ (а) = (½ * a * √ (64 - a²)) Ꞌ = ½ * (aꞋ * √ (64 - a²) + a * (√ (64 - a²)) Ꞌ) = ½ * (√ (64 - a²) + a * ½ * (-2 * а / √ (64 - a²))) = ½ * ((√ (64 - a²)) ² - a * а) / √ (64 - a²)) = ½ * (64 - a² - a²) / √ (64 - a²) = (32 - a²) / √ (64 - a²). Приравнивая к нулю производную (S Ꞌ (а) = 0), определим стационарные точки (если, конечно, таковые существуют) функции S (а). Имеем: (32 - a²) / √ (64 - a²) = 0. Поскольку мы функцию S (а) рассматриваем интервале (0; 8), то знаменатель дроби в левой части уравнения не может обращаться в 0. Следовательно, это уравнение можно переписать в виде 32 - a² = 0. Это неполное квадратное уравнение относительно а, имеет два различных корня а = ±√ (32) = ±4√ (2). Очевидно, что корень а = - 4√ (2) является побочным корнем. Значит, выбираем корень а = 4√ (2). Рассмотрим два интервала (0; 4√ (2)) и (4√ (2); 8). Нетрудно убедиться, что S Ꞌ (а) > 0 при а ∈ (0; 4√ (2)) и S Ꞌ (а) < 0 при а ∈ (4√ (2); 8). Это означает, что функция S (а) в точке а = 4√ (2) принимает максимальное (наибольшее) значение. Теперь легко вычислим другой катет прямоугольного треугольника: b = √ (64 - a²) = √ (64 - (4√ (2)) ²) = √ (64 - 32) = √ (32) = 4√ (2). Заключаем: При равных катетах по 4√ (2) см каждый, площадь треугольника будет наибольшей.

Ответ: При равных катетах по 4√ (2) см каждый, площадь треугольника будет наибольшей.