Найти интервалы монотонности функции f (x) = x⁴-6x²+4

Рассмотрим функцию y = f (x) = x⁴ - 6 * x² + 4. Прежде всего, заметим, что данная функция определена для всех х ∈ (-∞; + ∞) и является четной функцией, поскольку f (-x) = f (x), где х ∈ (-∞; + ∞). Значит, её график имеет ось симметрии, которая совпадает с осью Оу. Для того, чтобы найти интервалы возрастания и убывания данной функции, вычислим её производную. Имеем: yꞋ = fꞋ (х) = (x⁴ - 6 * x² + 4) Ꞌ = (x⁴) Ꞌ - (6 * x²) Ꞌ + 4Ꞌ = 4 * х^{4 - 1} - 6 * 2 * х^{2 - 1} 0 = 4 * х³ - 12 * х = 4 * x * (x² - 3). Приравнивая производную к нулю решим уравнение 4 * x * (x² - 3) = 0. Это уравнение равносильно уравнению x * (x² - 3) = 0. Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, х = 0 и x² - 3 = 0. Откуда, х = 0 и х = ±√ (3). Рассмотрим следующие 4 интервала: (-∞; - √ (3)), (-√ (3); 0), (0; √ (3)) и (√ (3); + ∞). Нетрудно убедиться, что: а) fꞋ (х) 0 при х ∈ (-√ (3) - функция возрастает; 0), в) fꞋ (х) 0 при х ∈ (√ (3); + ∞) - функция возрастает. Следовательно, интервалами монотонности данной функции являются: (-∞; - √ (3)), (-√ (3); 0), (0; √ (3)) и (√ (3); + ∞).

Ответ: (-∞; - √ (3)), (-√ (3); 0), (0; √ (3)) и (√ (3); + ∞).