Найти интервалы монотонности функции. точки экстремума функции y=2x^3+3x^2-12x

Рассмотрим функцию y = у (x) = 2 * x³ + 3 * x² - 12 * x. Прежде всего, заметим, что данная функция определена для всех х ∈ (-∞; + ∞). Для того, чтобы найти интервалы монотонности и точки экстремума данной функции, вычислим её производную. Имеем: yꞋ = уꞋ (х) = (2 * x³ + 3 * x² - 12 * x) Ꞌ = (2 * x³) Ꞌ + (3 * x²) Ꞌ - (12 * x) Ꞌ = 2 * 3 * х^{3 - 1} + 3 * 2 * х^{2 - 1} - 12 * 1 = 6 * х² + 6 * х - 12 = 6 * (x² + x - 2). Приравнивая производную к нулю решим уравнение 6 * (x² + x - 2) = 0. Это уравнение равносильно следующему квадратному уравнению x² + x - 2 = 0, который имеет детерминант D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9. Поскольку D = 9 > 0, то оно имеет два различных корня: х₁ = (-1 - √ (9)) / (2 * 1) = (-1 - 3) / 2 = - 2 и х₂ = (-1 + √ (9)) / (2 * 1) = (-1 + 3) / 2 = 1. Рассмотрим следующие 3 интервала: (-∞; - 2), (-2; 1) и (1; + ∞). Нетрудно убедиться, что: а) уꞋ (х) > 0 при х ∈ (-∞; - 2) - функция возрастает; б) уꞋ (х) 0 при х ∈ (1; + ∞) - функция возрастает. Следовательно, интервалами монотонности данной функции являются интервалы (-∞; - 2), (-2; 1) и (1; + ∞), а точки экстремума: х = - 2 и х = 1.

Ответ: Интервалами монотонности данной функции являются интервалы (-∞; - 2), (-2; 1) и (1; + ∞), а точки экстремума: х = - 2 и х = 1.