Площадь прямоугольного треугольника равна 90 см^2, а гипотенуза-3√41 см. Найдите катеты

Обозначим (в сантиметрах) через а, b - катеты и через с - гипотенузу данного прямоугольного треугольника. Как известно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов треугольника, то есть (½) * а * b = 90 или а * b = 180. Согласно теореме Пифагора, а² + b² = с². По условию задания гипотенуза треугольника равна 3√ (41) см. Значит, а² + b² = (3√ (41)) ² или а² + b² = 369. Таким образом, получили следующую систему уравнений второй степени: а * b = 180 и а² + b² = 369. Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 2 и найдём алгебраическую сумму полученного и второго уравнения: а² + 2 * а * b + b² = 369 + 2 * 180 или, используя формулу сокращенного умножения (a + b) ² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы), (a + b) ² = 27². Извлекая арифметический квадратный корень с обеих сторон последнего равенства, получим a + b = 27. Равенства a + b = 27 и а * b = 180, согласно теореме Виета, позволяют утверждать, что а и b являются корнями квадратного уравнения х² - 27 * х + 180 = 0. Решим его. С этой целью, вычислим дискриминант D = (-27) ² - 4 * 1 * 180 = 729 - 720 = 9 > 0. Значит, квадратное уравнение имеет два действительных корня: х₁ = (27 - √ (9)) / 2 = 12 и х₂ = (27 + √ (9)) / 2 = 15. Таким образом, катеты данного треугольника равны 12 см и 15 см.

Ответ: 12 см и 15 см.