При каком значении параметра b прямая y = 6 x + b является касательной к функции f (x) = x^3 + 3 x?

1. В точке касания прямой y = 6x + b с графиком функции f (x), производная f' (x) равна первому коэффициенту линейной функции:

y = 6x + b;

f (x) = x^3 + 3x;

f' (x) = 3x^2 + 3;

f' (x0) = 6;

3x0^2 + 3 = 6;

3x0^2 = 3;

x0^2 = 1;

x0 = ±1.

2. Найдем значение параметра b:

b = y - 6x;

a) x0 = - 1;

y0 = f (x0) = f (-1) = (-1) ^3 + 3 * (-1) = - 1 - 3 = - 4;

b = y0 - 6x0 = - 4 - 6 * (-1) = - 4 + 6 = 2;

b) x0 = 1;

y0 = f (x0) = f (1) = 1^3 + 3 * 1 = 1 + 3 = 4;

b = y0 - 6x0 = 4 - 6 * 1 = 4 - 6 = - 2.

Ответ: - 2; 2.