Найдите все натуральные числа, делящиеся на5 и на9, имеющие ровно 10 делителей (включая единицу и само число).

1. Количество делителей числа, представленного в виде произведения степеней простых множителей:

n = p1^k1 * p2^k2 * ... * pi^ki,

определяется формулой:

N (n) = (k1 + 1) (k2 + 1) * ... * (ki + 1), где p1, p2, ... pi - простые числа, k1, k2, ... ki - натуральные степени.

2. Количество делителей искомого числа, по условию задачи, равно:

N (n) = 10 = 5 * 2 = (4 + 1) * (1 + 1),

из чего следует, что число n имеет вид:

n = p1^4 * p2. (1)

Т. к. число n делится на 5 и на 9, то:

p1 = 3; p2 = 5; n = 3^4 * 5 = 81 * 5 = 405.

Ответ: 405.