1) Площадь прямоугольного треугольника равна 50 √ 3 третьих. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла. 2) Основания трапеции равны 9 и 54, одна из боковых сторон равна 27, а косинус угла между ней и одним из оснований равен √65 девятых. Найдите площадь трапеции.

1) Катет прямоугольного треугольника, расположенного против угла 60° определяется по формуле:

а = (√ 3 / 2) * с, где "с" гипотенуза треугольника.

Второй катет, который расположен против второго угла, равного 30°, определяется через гипотенузу "с" формулой: в = с / 2.

Тогда второй катет "в" определится через катет "а", как:

а / в = (√ 3 / 2) * с / (с / 2) = √ 3. То есть в = а / √ 3.

Определим площадь треугольника через катеты "а" и "в".

Площадь = (а * в) / 2 = а * (а / √ 3) = a ^ 2 / 2 * √ 3 = 50 (√ 3) / 3.

Откуда a ^ 2 = 100 * (√ 3) * (√ 3) / 3 = 100. Откуда находим а = √ (100) = 10.

2) Примем основания трапеции а = 54, в = 9, боковая сторона с = 27. Косинус угла А : cos A = (√65) / 9.

Высота трапеции h = с * sin A = c * √ (1 - sin ^ 2 (A) ] = 27 * √ [1 - 65 / (9) ^ 2] = 27 * 4 / 9 = 12.

Площадь трапеции = [ (а + в) / 2] * h = [ (54 + 9) ] / 2 * 12 = 63 * 6 = 378.