Разложите многочлен на множители: а) а (а+6) - (2b-3) (2b+3); б) 4 х (х+3) - (5 у+3) (5 у-3).

Решение:

а). Раскроем скобки:

а (а + 6) - (2b - 3) (2b + 3) = а² + 6 а - (4b² - 9) = а² + 6 а - 4b² + 9.

Сгруппируем слагаемые и "свернём" по формуле квадрата суммы (а + b) ² = (а² + 2ab + b²):

(а² + 6 а + 9) - 4b² = (а² + 2 ∙ 3 а + 3²) - 4b² = (а + 3) ² - 4b².

Далее по формуле а² - b² = (a - b) (а + b):

(а + 3) ² - 4b² = (а + 3) ² - (2b) ² = (а + 3 - 2b) (а + 3 + 2b).

б). Аналогично раскладываем на множители выражение:

4 х (х + 3) - (5 у + 3) (5 у - 3) = 4 х² + 12 х - (25 у² - 9) = 4 х² + 12 х - 25 у² + 9 = (4 х² + 2 ∙ 2 ∙3 х + 3²) - 25 у² = (2 х + 3) ² - (5 у) ² = (2 х + 3 - 5 у) (2 х + 3 + 5 у).

Ответ: а). а (а + 6) - (2b - 3) (2b + 3) = (а - 2b + 3) (а + 2b + 3); б). 4 х (х + 3) - (5 у + 3) (5 у - 3) = (2 х - 5 у + 3) (2 х + 5 у + 3).