Sinx+sin5x=0 как правильно решить?

Чтобы решить это уравнение, нужно воспользоваться формулой перехода от суммы синусов к произведению:

sina + sinb = 2sin ((a + b) / 2) ∙ cos ((a - b) / 2).

Получим:

sinx + sin5x = 0;

2sin ((x + 5x) / 2) ∙ cos ((x - 5x) / 2) = 0;

2sin (6x/2) ∙ cos (-4x/2) = 0;

2sin3x ∙ cos (-2x) = 0;

2sin3x = 0 или соs (-2x) = 0.

1) 2sin3x = 0;

sin3x = 0;

3x = πk, k∈ℤ;

x = πk/3, k∈ℤ.

2) соs (-2x) = 0;

cos2x = 0;

2x = π/2 + πk, k∈ℤ;

x = π/4 + πk/2, k∈ℤ.

Ответ: πk/3; π/4 + πk/2, k∈ℤ.