Первый член арифметической прогрессии равен 1, а сумма первых трёх членов равна 12. Найдите сумму всех двузначных членов прогресси.

1. Пусть первый член арифметической прогрессии an равен a1 = 1, а разность - d. Тогда для суммы первых трех членов S3 получим:

a1 = 1; a2 = a1 + d = d + 1; a3 = a1 + 2d = 2d + 1; S3 = a1 + a2 + a3 = 1 + d + 1 + 2d + 1 = 3d + 3; S3 = 12; 3d + 3 = 12; 3 (d + 1) = 12; d + 1 = 12 : 3; d + 1 = 4; d = 4 - 1; d = 3.

2. Найдем наименьший и наибольший двузначные члены прогрессии:

a1 = 1; a3 = 2d + 1 = 2 * 3 + 1 = 7; a4 = 3d + 1 = 3 * 3 + 1 = 10, наименьший двузначный член; a33 = 32d + 1 = 32 * 3 + 1 = 97, наибольший двузначный член; a34 = 33d + 1 = 33 * 3 + 1 = 100.

3. Сумму членов прогрессии от an1 до an2 найдем по формуле:

S (n1, n2) = (n2 - n1 + 1) (an1 + an2) / 2; S (4, 33) = (33 - 4 + 1) (10 + 97) / 2 = 30 * 107/2 = 15 * 107 = 1605.

Ответ: 1605.