Вычислить площадь фигуры ограниченной линии: 1) у = - х в квадрате+4 х+у=4 2) у=х в квадрате + 1 5 х+3 у=25

Question

Семён Жуков

Математика

27 октября, 03:41

Вычислить площадь фигуры ограниченной линии: 1) у = - х в квадрате+4 х+у=4 2) у=х в квадрате + 1 5 х+3 у=25

+4

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Александр Волков · Answer 1

1. у = - х^2 + 4 и х + у = 4.

a) Точки пересечения графиков функций:

{у = - х^2 + 4;

{х + у = 4; {4 - x = - х^2 + 4;

{у = 4 - x; {x^2 - x = 0;

{у = 4 - x; {x (x - 1) = 0;

{у = 4 - x; 1) x1 = 0; y1 = 4; 2) x2 = 1; y2 = 3.

b) Первообразная функции и площадь фигуры:

f (x) = - x^2 + 4 - (4 - x) = - x^2 + x; F (x) = ∫f (x) dx = ∫ (-x^2 + x) dx = - x^3/3 + x^2/2; F (x1) = F (0) = - 0^3/3 + 0^2/2 = 0; F (x2) = F (1) = - 1^3/3 + 1^2/2 = - 1/3 + 1/2 = 1/6; S = F (x2) - F (x1) = 1/6 - 0 = 1/6.

2. у = х^2 + 1 и 5 х + 3 у = 25.

a) Точки пересечения графиков функций:

{у = х^2 + 1;

{5 х + 3 у = 25; {25/3 - 5x/3 = х^2 + 1;

{у = 25/3 - 5x/3; {х^2 + 5x/3 - 22/3 = 0;

{у = 25/3 - 5x/3; {3 х^2 + 5x - 22 = 0;

{у = 25/3 - 5x/3; D = 5^2 + 4 * 3 * 22 = 25 + 264 = 289; x = (-5 ± √289) / 6 = (-5 ± 17) / 6; 1) x1 = - 11/3; y1 = 130/9; 2) x2 = 2; y2 = 5.

b) Первообразная функции и площадь фигуры:

g (x) = (25/3 - 5x/3) - (х^2 + 1) = - x^2 - 5x/3 + 22/3; G (x) = ∫g (x) dx = ∫ (-x^2 - 5x/3 + 22/3) dx = - x^3/3 - 5x^2/6 + 22x/3; G (x1) = G (-11/3) = (11/3) ^3/3 - 5 (11/3) ^2/6 - 22 * (11/3) / 3 = 11^3/3^4 - 5 * 11^2 / (2 * 3^3) - 2 * 11^2/3^2 = 11^2/3^4 (11 - 15/2 - 18) = 11^2 / (2 * 3^4) (22 - 15 - 36) = - 29 * 11^2 / (2 * 3^4); G (x2) = G (2) = - 2^3/3 - 5 * 2^2/6 + 22 * 2/3 = - 8/3 - 10/3 + 44/3 = 26/3; S = G (x2) - G (x1) = 26/3 + 29 * 11^2 / (2 * 3^4) = (1404 + 3509) / (2 * 3^4) = 4913/162.

Ответ: 1) 1/6; 2) 4913/162.