В треугольнике две стороны равны 5 и 12 см, а косинус угла между ними равен 3/5. Найти: а) третью сторону; б) площадь треугольника; в) синус большего угла треугольника

Пусть АВС - данный треугольник, АВ = 5 см, АС = 12 см, cosA = 3/5.

а) По теореме косинусов:

ВС² = АВ² + АС² - 2 * АВ * АС * cosA.

ВС² = 25 + 144 - 2 * 5 * 12 * 3/5 = 169 - 72 = 97.

ВС = √97 (~ 9,8).

б) Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

sin²x = 1 - cos²x.

sin²А = 1 - (3/5) ² = 1 - 9/25 = 25/25 - 9/25 = 16/25.

sinА = 4/5.

S = 1/2 * АВ * АС * sinА = 1/2 * 5 * 12 * 4/5 = 24 (см²).

в) Больший угол треугольника лежит напротив большей стороны.

Значит, больший угол лежит напротив АС (АС = 12 см, это наибольшая длина сторон).

По теореме синусов:

ВС/sinА = АС/sinB.

√97 : 4/5 = 12 : sinB.

√97 * 5/4 = 12/sinB.

sinB = 48 / (5√97).