Найдите корни уравнения: а) x^4-7x^2+12x-3=0 б) (2x^2-5x+2) / 4x=-5x / (2x^2+7x+2)

а) x⁴ - 7x² + 12x - 3 = 0.

Представим x⁴ в виде квадрата: (х²) ².

Разложим (-7 х²) как сумму (-9 х²) + 2 х²; 12 х как сумму 6 х + 6 х; число (-3) как сумму (-1) + (-2).

(х²) ² - 9x² + 6x - 1 + 2 х² + 6 х - 2 = 0.

Вынесем минус у трех одночленов:

(х²) ² - (9x² - 6x + 1) + 2 х² + 6 х - 2 = 0.

Свернем по формуле квадрата разности:

(х²) ² - (3x - 1) ² + 2 х² + 6 х - 2 = 0.

Первую пару разложим по формуле разности квадратов, у последней тройки вынесем число 2:

(х² - (3x - 1)) (х² + (3 х - 1)) + 2 (х² + 3 х - 1) = 0.

(х² - 3x + 1) (х² + 3 х - 1) + 2 (х² + 3 х - 1) = 0.

Вынесем общий множитель (х² + 3 х - 1):

(х² + 3 х - 1) (х² - 3x + 3) = 0.

Отсюда х² + 3 х - 1 = 0; D = 9 + 4 = 13; x = (-3 ± √13) / 2.

Или х² - 3x + 3 = 0; D = 9 - 12 = - 3 (D < 0, корней нет).

Ответ: корни уравнения равны (-3 - √13) / 2 и (-3 + √13) / 2.

б) (2x² - 5x + 2) / 4x = - 5x / (2x² + 7x + 2).

По правилу пропорции:

(2x² - 5x + 2) (2x² + 7x + 2) = - 20x².

Поделим обе части уравнения на х² (х не равен 0):

(2x² - 5x + 2) / х * (2x² + 7x + 2) / х = - 20x²/х².

(2x - 5 + 2/х) (2x + 7 + 2/х) = - 20.

Введем новую переменную, пусть 2 х + 2/х = а.

(а - 5) (а + 7) = - 20.

а² - 5 а + 7 а - 35 + 20 = 0.

а² + 2 а - 15 = 0.

По теореме Виета корни равны - 5 и 3.

Возвращаемся к замене 2 х + 2/х = а.

а = - 5.

2 х + 2/х = - 5; 2 х + 2/х + 5 = 0. Умножаем на х:

2 х² + 5 х + 2 = 0.

D = 25 - 16 = 9 (√D = 3);

х₁ = (-5 - 3) / 4 = - 8/4 = - 2.

х₂ = (-5 + 3) / 4 = - 2/4 = - 0,5.

а = 3.

2 х + 2/х = 3; 2 х + 2/х - 3 = 0. Умножаем на х.

2 х² - 3 х + 2 = 0. D = 9 - 16 = - 7 (D < 0, нет корней).

Ответ: корни уравнения равны - 2 и - 0,5.