Найти все пары натуральных чисел, для которых выполняется равенство 2x²+y²=2xy+4x

1. Выделим полные квадраты двучленов:

2x^2 + y^2 = 2xy + 4x; 2x^2 + y^2 - 2xy - 4x = 0; x^2 - 4x + 4 + x^2 - 2xy + y^2 - 4 = 0; (x - 2) ^2 + (x - y) ^2 = 4. (1)

2. Из уравнения (1) следует, что целочисленные решения получим в двух случаях:

1)

{ (x - 2) ^2 = 0;

{ (x - y) ^2 = 4; {x - 2 = 0;

{x - y = ±2; {x = 2;

{y = 2 ± 2; [x = 2; y = 0 ∉ N;

[x = 2; y = 4.

2)

{ (x - 2) ^2 = 4;

{ (x - y) ^2 = 0; {x - 2 = ±2;

{x - y = 0; {x = 2 ± 2;

{y = x; [x = 0; y = 0 ∉ N;

[x = 4; y = 4.

Ответ. Натуральные решения уравнения: (2; 4), (4, 4).