2 cos4x + 2 cos2x = 4 sin^2 x - 1

В задании дано тригонометрическое уравнение 2 * cos (4 * x) + 2 * cos (2 * x) = 4 * sin²x - 1. Однако, в нём отсутствует информация о требуемом. Решим данное уравнение. К первому слагаемому левой части уравнения применим формулу cos (2 * α) = 2 * cos²α - 1 (косинус двойного угла), а к первому слагаемому правой части - формулу 2 * sin²α = 1 - cos (2 * α). Тогда, имеем: 2 * (2 * cos² (2 * x) - 1) + 2 * cos (2 * x) = 2 * (1 - cos (2 * x)) - 1 или, упрощая, 4 * cos² (2 * x) + 4 * cos (2 * x) - 3 = 0. Введя новую переменную у = cos (2 * x), получим квадратное уравнение 4 * у² + 4 * у - 3 = 0. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = 4² - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Вычислим их: у₁ = (-4 - √ (64)) / (2 * 4) = (-4 - 8) / 8 = - 12/8 = - 1,5 и у₂ = (-4 + √ (64)) / (2 * 4) = (-4 + 8) / 8 = 4/8 = ½. Очевидно корень у = - 1,5 квадратного уравнения является побочным корнем, так как число - 1,5 не входит в множество значений функции у = cos (2 * x). Рассмотрим второй корень квадратного уравнения у = 0,5. Сделаем обратную замену переменной: cos (2 * x) = ½. Это уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением и имеет следующие две серии решений: 2 * х₁ = π/3 + 2 * π * m и 2 * х₂ = - π/3 + 2 * π * n, где m и n - целые числа. Поделим на 2 обе части обоих равенств. Тогда получим: х₁ = π/6 + π * m и х₂ = - π/6 + π * n.

Ответ: х = π/6 + π * m и х = - π/6 + π * n, где m и n - целые числа.