Упростите выражение sin (arccos3/5+arcsin8/17)

Воспользуемся формулой sin (α ± β) = sinα∙cosβ ± cosα∙sinβ:

sin[arccos (3/5) + arcsin (8/17) ] ⇔

⇔ sin[arccos (3/5) ]∙cos[arcsin (8/17) ] +

+ cos[arccos (3/5) ]∙sin[arcsin (8/17) ];

Воспользуемся формулами:

arcsin (x) = arccos√ (1 - x²) при 0 ≤ x ≤ 1;

arccos (x) = arcsin√ (1 - x²) при 0 ≤ x ≤ 1;

sin[arccos (3/5) ]∙cos[arcsin (8/17) ] +

+ cos[arccos (3/5) ]∙sin[arcsin (8/17) ] ⇔

⇔ sin{arcsin√[1 - (3/5) ²]}∙cos{arccos√[1 - (8/17) ²]} +

+ cos[arccos (3/5) ]∙sin[arcsin (8/17) ];

Вычислим отдельно:

√[1 - (3/5) ²] = √[1 - 9/25] = √[16/25] = 4/5;

√[1 - (8/17) ²] = √[1 - 64/289] = √[225/289] = 15/17;

Подставим в выражение:

sin{arcsin√[1 - (3/5) ²]}∙cos{arccos√[1 - (8/17) ²]} +

+ cos[arccos (3/5) ]∙sin[arcsin (8/17) ]) ⇔

⇔ sin[arcsin (4/5) ]∙cos[arccos (15/17) ] +

+ cos[arccos (3/5) ]∙sin[arcsin (8/17) ];

Теперь заменим:

sin[arcsin (α) ] = α;

cos[arccos (α) ] = α;

sin[arcsin (4/5) ]∙cos[arccos (15/17) ] +

+ cos[arccos (3/5) ]∙sin[arcsin (8/17) ] ⇔

⇔ (4/5) ∙ (15/17) + (3/5) ∙ (8/17) ⇔

⇔ 60/85 + 24/85 = 84/85.

Ответ: sin[arccos (3/5) + arcsin (8/17) ] = 84/85.