Исследуйте функцию y=1/3x^3-x^2-3x+1/3

ОДЗ функции y = 1/3x³ - x² - 3x + 1/3 - вся числовая прямая.

Функция ни четная и ни нечетная.

Для нахождения экстремумов функции найдем первую производную,

y' = (1/3 x³ - x² - 3x + 1/3) ' = x² - 2x - 3.

Найдем нули производной: x² + 2x - 3 = 0 → D = b² - 4ac → 2² - 4 * 1 * (-3) = 16;

√D = 4; x_1,2 = (-b ± √D) / (2a); x₁ = (-2 + 4) / 2 = 2/2 = 1; x₂ = (-2 - 4) / 2 = - 6/2 = - 3.

Экстремальное точки (-3) и 1 делят область определения функции на промежутки:

(-∞; - 3) U (-3; 1) U (1; + ∞).

На 1 и 3 интервалах y' >0 → функция возрастает, на 2 интервале y' <0, функция убывает.

В точке х = - 3 производная меняет знак с "+" на "-", это значит точка x = 3 является точкой максимума. В точке х = 1 производная меняет знак с "-" на "+", это значит точка x = 1 является точкой минимума.

Ответ. Максимум функции в точке х = - 3; минимум функции в точке х = 1.