Решите уравнение: x+7=8/x

Решаем уравнение x + 7 = 8/x, используя тождественные преобразования.

Алгоритм решения уравнения найдем область допустимых значений для уравнения; избавимся от знаменателя правой части уравнения; решаем полное квадратное уравнение через дискриминант. Найдем ОДЗ уравнения и избавимся от знаменателя

Проанализируем уравнение x + 7 = 8/x.

В знаменателе слагаемого, находящихся в правой части уравнения находится переменная. Известно, что на ноль делить нельзя. Значит мы должны исключить из ОДЗ значения переменной, обращающие знаменатель в ноль.

х ≠ 0.

Итак, ОДЗ R / {0}.

Избавимся от дроби в правой части уравнения. Для этого умножим на х обе части уравнения, при условии что х не равен 0.

x * x + 7 * x = x * (8/x);

x^2 + 7x = 8;

Перенесем в левую часть уравнения слагаемые из правой части. При переносе слагаемых из правой части уравнения в левую меняем знак слагаемого на противоположный.

x^2 + 7x - 8 = 0.

Решаем полное квадратное уравнение x^2 + 7x - 8 = 0

Чтобы решить полное квадратное уравнение вспомним формулу для нахождения дискриминанта.

D = b^2 - 4ac.

Вычислим дискриминант для нашего уравнения.

D = 7^2 - 4 * 1 * ( - 8) = 49 + 32 = 81.

Дискриминант больше ноля, делаем вывод, что уравнение имеет два корня.

Вспомним формулу для нахождения корня уравнения.

x1 = ( - b + √D) / 2a;

x2 = ( - b - √D) / 2a.

Подставляем значения в формулу и вычисляем.

x1 = ( - 7 + √81) / 2 * 1 = ( - 7 + 9) / 2 = 2/2 = 1;

x2 = ( - 7 - √81) / 2 * 1 = ( - 7 - 9) / 2 = - 16/2 = - 8.

Корни уравнения удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: корни уравнения х = 1 и х = - 8.

Чтобы решить уравнение х + 7 = 8/х воспользуемся основным свойством пропорции.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Для пропорции a : b = c : d или a/b = c/d основное свойство записывается так: a · d = b · c.

Представим наше уравнение в виде:

(х + 7) / 1 = 8/х;

х (х + 7) = 8 * 1;

x^2 + 7x = 8;

x^2 + 7x - 8 = 0.

Ищем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * 1 * ( - 8) = 49 + 32 = 81.

x1 = ( - b + √D) / 2a = ( - 7 + √81) / 2 * 1 = (-7 + 9) / 2 = 2/2 = 1.

x2 = (-b - √D) / 2a = ( - 7 - √81) / 2 * 1 = ( - 7 - 9) / 2 = - 16/2 = - 8.

Ответ: х = 1; х = - 8.